Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния ко­си­нус 14x плюс ко­си­нус 9x плюс ко­си­нус 4x = 0 на про­ме­жут­ке (– 90°; 0°).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние, при­ме­няя фор­му­лу суммы ко­си­ну­сов:

ко­си­нус 14x плюс ко­си­нус 9x плюс ко­си­нус 4x = 0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 14x минус 4x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 14x плюс 4x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус 9x = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 5x ко­си­нус 9x плюс ко­си­нус 9x = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус 9x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 5x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 9x = 0, ко­си­нус 5x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 9x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, 5x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 5x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби k, x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби n, x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби n, конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

От­бе­рем с по­мо­щью двой­но­го не­ра­вен­ства корни, ле­жа­щие в про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка :

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби k мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 9 Пи мень­ше Пи плюс 2 Пи k мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 10 Пи мень­ше 2 Пи k мень­ше минус Пи рав­но­силь­но минус 5 мень­ше k мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби n мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 15 Пи мень­ше 4 Пи плюс 12 Пи k мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 19 Пи мень­ше 12 Пи k мень­ше минус 4 Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше k мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби n мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 15 Пи мень­ше 8 Пи плюс 12 Пи k мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 23 Пи мень­ше 12 Пи k мень­ше минус 8 Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше k мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Из пер­вой серии кор­ней по­лу­ча­ем целые k = минус 4, минус 3, минус 2, минус 1, ко­то­рым со­от­вет­ству­ют (в гра­ду­сах) корни  минус 70, минус 50, минус 30, минус 10. Из вто­рой и тре­тьей серий кор­ней по­лу­ча­ем целое n  =  – 1, ко­то­ро­му со­от­вет­ству­ют (в гра­ду­сах) корни  минус 48, минус 24. Сло­жим:

минус 70 минус 50 минус 30 минус 10 минус 48 минус 24 = минус 232.

Ответ: – 232.


Аналоги к заданию № 2313: 2345 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2024 год. Ва­ри­ант 6
Классификатор алгебры: 6\.8\. Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния на сумму функ­ций
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Методы тригонометрии: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025